作者：James Propp 詹姆斯·普洛普（马萨诸塞大学洛威尔分校数学教授） 2023-6-16

译者：zzllrr小乐（数学科普微信公众号） 2023-6-20

【资料图】

“矩阵是什么” — 墨菲斯，黑客帝国（电影The Matrix 1999）

矩阵是一个矩形的数字数组，但一个矩形的数字数组只有在你以正确的方式思考它时才会变成矩阵。我后面会回到墨菲斯的反问。矩阵在科学和技术中无处不在，从生态学到经济学再到数据科学。我将告诉你如何将矩阵相加（以你可能期望的方式）以及如何将它们相乘（以你可能不会想到的方式）。我不会告诉你矩阵代数是如何发明的，因为它太尴尬了——不是对我个人，而是对整个数学专业。线索无处不在，尤其是在现代代数开始之后，但我们忙于研究二次多项式（x² + xy + y²等），其中变量被提高到2次幂或乘以其他变量（然后相加），我们没有对变量乘以常量的线性多项式（2x+3y等）给予足够的关注。如果我们更深入地思考微小的事情，现代矩阵理论可能在几个世纪前就被发明出来了。

想想两千年前的中国，事情进展得如此顺利，当时有一种求解线性方程组的流行热潮！

好吧，最后一句话可能有点夸张了。我们所知道的是，两千年前有一部著作叫《（linear transformation）。我们寻求的是一种执行逆运算的方法，从数字 3x+2y+z、2x+3y+z 和 x+2y+3z 重建数字 x、y 和 z。

执行这种重建的中国方法使用矩形数字数组。例如，前面的问题将由数组表示

3 2 1 39

2 3 1 34

1 2 3 26

这些数组不是写在纸上的，而是在分成不同隔间的板上用短杆排列表示的。用这种板子解决此类问题的艺术被称为（solving）难题很困难，但Gaussian elimination（又名方程术）来推导出它们的相对大小。但莱昂蒂夫的美国经济模型有500个部门——远远超出了方程术黄金时代最熟练的行家的能力。幸运的是，莱昂蒂夫有一个好主意，大量的数据（由美国劳工统计局提供），以及最先进的计算能力（由哈佛大学的Mark II计算机提供）。

让我们回到我们漂亮的玩具经济学，让它不处于平衡状态。代替稳态方程

A = A/2 + B

B = A/2

我们现在有了进化方程

A" = A/2 + B

B" = A/2

其中 A、B 是一年中行业的规模，A"、B" 是下一年这些行业的规模。我们再过几年重复这个过程

A"" = A"/2 + B"

B"" = A"/2

继续如此下去。会发生什么？

你可以试试：如果 (a，b) = （1，0） 那么 (A"，B")， (A""，B"") 等等，就分别是（1/2，1/2），（3/4，1/4）（5/8，3/8），（11/16，5/16）等，收敛到（2/3，1/3）。（我上个1/3日写了这个过程 。

这里有一个大发现：【（covariance matrix），其条目告诉你正在考虑的随机变量真正变化的程度，以及变量是倾向于在同一方向还是相反方向上变化。

我怎么能忽略当前线性代数的杀手级应用：通过神经网络进行机器学习？这是隐藏在Chat-GPT和DALL-E以及人工智能最近取得的其他胜利中的魔力。据估计，超过99%的时间，如果你打断神经网络，它会说“你看不出我正在将两个矩阵相乘吗？（或者这就是神经网络在变得更聪明时会说的话，假设它们仍然允许我们打断它们。）

我几乎没有触及矩阵理论的表面。矩阵不仅仅是代数抽象；它们具有生动的几何意义。例如，考虑上面显示的比萨的莱昂纳多图片，它被视为将坐标对（x，y）映射到灰度级别的函数。如果我们应用与矩阵（两个月后控制莱昂纳多兔子种群进化的矩阵）

2 1

1 1

相关的线性变换，并采用该点的灰度级别会怎样？我们得到了图像的娱乐版本。在一个（对角线）方向上，原始图像被拉伸了 （3+√5）/2 倍；在垂直方向上，它被同样的倍数压扁了。这种拉伸和挤压的组合就是太妃糖拉力机所做的。将我们在莱昂纳多脸上的太妃糖拉动操作与乘以复数进行比较，该复数以（eigenvalue）的概念。

我在开头提到矩阵是矩形数组，但到目前为止我们看到的所有数组都是正方形的。你可以从斯特朗的书和许多其他来源中了解矩形矩阵如何适应图片。如果你想扮演汉密尔顿或凯莱，你能想到一个加法和乘法三角形数组的好方法吗？

我将以最后的历史旁白结束。看来，17世纪初的中国宫廷数学家，以一种奇怪的反向挪用方式，错误地试图将方程的技术描绘成欧洲数学家的作品！（参见罗杰·哈特（Roger Hart）的文章“追踪"三大支柱"所窃取的做法”。这些朝臣试图将自己打造成西方知识的中转人，所以他们的推销需要秘密的西方智慧的例子，而朝臣们并没有超越晦涩难懂的古代中国数学片段，并在上面贴上“欧洲制造”的标签。正如我所说，历史是一件有趣的事情。

感谢Sandi Gubin，Roger Hart，David Jacobi和Glen Whitney。

这个词以禁止常数项的存在。

#3.中国人实际上会使用这张图片的翻转版本，但我在本文后面调整了他们的演示文稿，以促进向现代符号的过渡。

#4.我第一次了解方程术，是从省略了“短”修饰符且不包含图片的来源中，我想象了水平和垂直杆运行棋盘的长度和宽度，计算过程类似于在一张桌子上同时进行两个垂直的桌上足球游戏！事实上，这些杆足够短，可以放在一个隔间内。

#5.西尔维斯特在1850年创造了“矩阵”这个词，并在一年后解释了这个新词，写道：“我在以前的论文中将"矩阵"定义为一个矩形的术语数组，从中可以产生不同的行列式系统，就像来自共同的子宫一样。我在这里不会过多讲行列式，只是说它们是与矩阵相关的数值量。每个大小适中的矩阵都有许多正方形子矩阵，每个子矩阵都有自己的行列式，这些行列式之间存在系统的代数关系，这些关系令人着迷且重要。但是矩阵比行列式要多得多！

#6.在现实生活中，荷兰数学家扬·德·维特（Jan de Witt）在1659年首次使用这种系数数组表示线性变换。

#7.你可能会觉得我把运算的顺序从一个句子切换到下一个句子，但如果你仔细阅读，你会发现即使单词的顺序改变了，运算的顺序也没有改变。为了进行比较，请考虑短语“x 余弦的正弦”；它表示如果我们从 x 开始，取其余弦，然后取正弦，得到的数字。索伦·克尔凯郭尔（Søren Kierkegaard）有一句名言：“生活只能向后理解，但必须向前生活”。有时数学只能从右到左理解，即使我们从左到右写它。

#8.值得注意的是，对于四元数和矩阵乘法，定义四元数的加法只是做最明显的事情。相比之下，乘法的定义是“秘密调味料”，它使四元数和矩阵分别成为它们的样子。人们在抽象代数中一遍又一遍地看到加法和乘法之间的对比：如何加法通常很明显，但找到“正确”的乘法方法通常更棘手。

#9.（linear map）的拉伸/挤压因子称为（eigendirection）；指向特征方向的向量称为-”（从德语借来）的意思类似于“自我”或“自有”（形容词，而不是动词）。线性代数的思想在多大程度上影响了所有数学，可以通过现在有几十个以“eigen-”开头的数学词汇来衡量。

#10.支配这个问题的演化方程是

A" = A + 2pB

B" = pA + B

（其中A是你的钱，B是我的钱，100p%和200p%是两种利率）。关联的矩阵为

1 2p

p 1

不难证明（使用你将从斯特朗的书中学到的方法）这个矩阵有两个特征值：特征值 1 + p√2，与特征向量 （√2，1） 和特征值 1 − p√2，与特征向量 （√2，1） 相关。由于前者的特征值具有较大的绝对值，因此它是主导的特征值（主特征值），因此随着时间的推移，该数对(a，b)看起来越来越像特征向量（√2，1）的倍数，并且A与B的比率将接近√2与1的比率。因此，即使你从小额投资开始，而我从大投资开始，最终你也会比我多出大约40%的钱。另请注意，如果我们取 p = 1（对应于每年 100% 的不切实际的利息），并且你和我以 1 个货币单位的相等投资开始，我们各自的持有量增长为（1，1）、（3，2）、（7，5）、（17，12） 等；比率 1/1， 3/2， 7/5， 17/12， ...无非是我们在我的文章《事物、名称和数字》 upper triangular）。你可以检查上三角矩阵集合是否在加法和乘法下封闭。由于每个这样的矩阵都与三个数字相关联，矩阵乘法提供了一种三元数相乘的好方法——即使它没有汉密尔顿在发明四元数之前所寻找的所有属性。

罗杰·哈特，《追踪实践被“三大支柱”窃取》，《韩国科学史杂志》34-2（2012），第287-357页

MacTutor， 矩阵和行列式， /HistTopics/Matrices and determinants/

卡尔·马克思，《格伦德里斯》（企鹅版），马丁·尼古拉斯译，第441页

Almarin Phillips， The Tableau Economique as a Simple Leontief Model， Quarterly Journal of Economics， Vol. 69， No. 1 （1955）， pp. 137–144

亨利·皮乔托，矩阵。ge/2023/06/16/matrices/

吉尔伯特·斯特朗，《线性代数》

Jeff Suzuki， Fang Cheng Shu：Solve of Equations System in Ancient China， /watch?v=HIFcftCSXO0

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